Preimage 與 Coimage

在從三維空間投影至二維圖像時，由於少了一個維度，一定會有資訊流失。假設圖片上有一個點 \(\mathbf{x}\)，其在三維空間中其實是一條直線，可以用 \(span(\mathbf{x})\) 來表示，而此直線便是點 \(\mathbf{x}\) 的 preimage。同理若圖片上有一條直線，則其 preimage 為一個平面。

接下來要介紹的是 coimage，coimage 的定義是 preimage 的 orthogonal complement。因此點 \(\mathbf{x}\) 的 coimage 會是一個平面，而一條直線的 coimage 為其 preimage 平面的法向量。

假設有個三維向量 \(\mathbf{u}\)，則其 hat operator \(\mathbf{u^{\wedge}}\) 為一個 \(3 \times 3\) 的方陣，而此方陣的 column space \(span(\mathbf{u^{\wedge}})\) 會與 \(\mathbf{u}\) orthogonal。

以上介紹的整理如下：

• 點 \(\mathbf{x}\) 的 preimage 為 \(span(\mathbf{x})\)，是一條直線。
• 點 \(\mathbf{x}\) 的 coimage 為 \(span(\mathbf{x^{\wedge}})\)，是一個平面。 
• 線 L 的 preimage 為 \(span(\mathbf{l^{\wedge}})\)，是一個平面。
• 線 L 的 coimage 為 \(span(\mathbf{l})\)，是其 preimage 的法向量。