關於 Essential Matrix 與 Homography Matrix 的更多筆記

本文為讀了 An Invitation to 3-D Vision 書中 Chapter 5 的筆記。相關的前文：

• 利用 Homography 矩陣描述兩張圖片的變換關係
• Epipolar Geometry：介紹 essential matrix 及 fundamental matrix 

Essential matrix 的筆記

• Epipolar constraint：\(x_2^T \hat{T}R x_1 = 0\)，而 essential matrix 即為 \(\hat{T}R\)。
• 任何 3x3 的非零矩陣是 essential matrix 則其 singular values 為 \(\{\sigma, \sigma, 0\}\) 的形式，反之亦然。
• 如前文所述，分解 essential matrix 會得到四組解，不過只有一個解會讓三維空間的點在兩個相機坐標系中都有正的深度，因此可以用這種方式來找出唯一解。
• 八點法為一種求解 essential matrix 的方法，如其名需要八個對應點。但由於 essential matrix 的自由度為五，因此理論上只要五組對應點就能算出來了。本文將跳過五點法的細節。
• 八點法的要求是位移向量 T 不為零。
• 在真實世界中會有噪音產生的誤差，因此 closed form 解可能會不夠準確。

Homography matrix 的筆記

• 前提是對應點都在同一個三維平面上，因此只要四組對應點即可。
• 對應式子為 \(x_2 \sim  H x_1\)。
• 在八點法中若對應點都在同一個平面上則無法算出正確的 essential matrix