關於三維空間轉換的更多筆記

首先來整理一下以前寫過的同主題文章：

• 三維空間旋轉：簡介了歐拉角、軸角、Rodrigues' Formula，以及 singularity 的問題。
• Quaternion 四元數簡介：簡介利用四元數來表示三維空間旋轉、SO(3)。
• 李群、李代數與三維空間旋轉：簡介李群、李代數、指數對數映射。
• SO(3) 上的李代數求導數：簡介李代數的導數如何計算。
• 實作 SO(3) 指數映射
• 實作 SO(3) 對數映射 

本文為讀了 An Invitation to 3-D Vision 書中第二章的筆記，想要補充一些之前文章沒有寫清楚的觀念。

so(3) 與 hat、vee operator 的定義

• so(3) 為 3x3 skew-symmetric 的矩陣的集合
• Hat operator \(\wedge\) 將三維向量轉換成 so(3)
• Vee operator \(\vee\) 將 so(3) 轉換成三維向量
  

SO(3)、SE(3) 的定義

• SO(3)：special orthogonal group，由 3×3 方陣 \(R\) 組成的群，必須滿足線性關係、\(R R^T=R^T R=I\)、以及行列式為 1。
• SE(3)：\(\{g = (R,T)|R\in SO(3), T \in \mathbb{R}^3\}\)
• Euclidean transformation：保持距離的映射 \(\left \| g(v) \right \| = \left \| v \right \|\)
• Special Euclidean transformation：保持 orientation 的 Euclidean transformation，因此 special Euclidean transformation 除了保持距離以外，也得符合外積性質 \(g(u) \times g(v)=g(u \times v)\)

SO(3) 的指數、對數映射

在李群、李代數與三維空間旋轉文中提過 \(\dot{R}(t)R^T(t)\) 是一個 skew-symmetric 矩陣，因此一定存在一個 \(\omega\) 使得 \(\widehat{\omega}(t)=\dot{R}(t)R^T(t)\)，同時可以把此式寫成：\[\dot{R}(t) = \widehat{\omega}(t)R(t)\]也就是說 \(\widehat{\omega}(t)\) 這個 so(3) 在 R(t) SE(3) 的 tangent space 上（也就是李代數）。指數映射就是將 so(3) \(\widehat{\omega}(t)\) 轉換成一個旋轉矩陣 \(R(t) \in SO(3)\) 的過程，而對數映射就是從另一個方向來進行。