Binary Bayes Filters with Static State & Occupancy Grid Mapping

本文將延續前文（構建地圖 Occupancy Grid Mapping）的內容，補充一些前文略過的細節。

這一類型的問題中狀態並不會隨著時間的變化而改變，因此本文標題強調為 static state。當狀態靜止時，\(bel(x)\) 就只是觀測資料的函數：\[bel_t(x) = p(x|z_{1:t}, u_{1:t}) = p(x|z_{1:t})\]另外標題也強調狀態只有兩種：\(x\) 及 \(\neg x\)。這麼做的原因是我們將用 log odds \(l(x) = log\frac{p(x)}{1-p(x)}\) 來簡化 Bayes Filter 的演算法。因此前文提到的 occupancy grid mapping 問題即是 Binary Bayes Filter with static state 可以解的問題，因為我們假設狀態為每個 grid 上是否有障礙物，也就是 \(p(m_i)\)，並且也假設地圖是固定的，不會因為時間變化而改變。

在前文中我們提到了 inverse sensor model，在此稍微討論一下其意義。Inverse sensor model 也稱為 inverse measurement model，其意義為 \(p(x|z_t)\)，也就是在給定測量結果 \(z_t\) 之下狀態 \(x\) 的機率分布。這麼做跟 forward model \(p(z_t|x)\) 相比有什麼好處呢？在測量結果比狀態複雜得多的情況下我們通常會使用 inverse measurement model。舉個例子：拍張照片來判斷一個門是否是開的。在此問題中狀態就只有兩種可能：開或關，但是相機的測量結果卻有非常多個像素。因此在給定一張照片的情況下，要判斷門是否為開的很容易，但是在知道門開的情況下要描述所有相機圖片的分布就非常困難了。（註：這也是 GAN 想要解決的問題。）因此在此情況下要實現 inverse measurement model 比 forward model 還要容易。

Binary Bayes Filters with Static State 的推導

我們假設在 \(t\) 時刻有已知的 \(l_{t-1}\) 及測量結果 \(z_t\)，則 \(l_t\) 的式子是：\[l_t=l_{t-1}+log \frac{p(x|z_t)}{1-p(x|z_t)} - log \frac{p(x)}{1-p(x)}\] 式子中的第二項即為 inverse measurement model，而第三項為 prior。

這個式子我們在前文已經推導過一次，而本文想要表達的是用這個式子不只可以用來解決 occupancy grid mapping 的問題，也可以用來解任何 binary static state 的問題。